ภาพและบุพภาพ

ภาพและบุพภาพ

ภาพ (image) ของ xโดยที่ x ∈ X ภายใต้ f คือผลลัพธ์ f (x)

ภาพของเซตย่อย A⊂X ภายใต้ f คือเซตย่อย Y ซึ่งมีนิยามดังนี้

f[A] = {f (x)  | x อยู่ใน A}

บางครั้ง อาจใช้ f (A) แทน f[A]

สังเกตว่าเรนจ์ของ f คือภาพ f (X) ของโดเมนของมัน. ในฟังก์ชันข้างบน ภาพของ {2, 3} ภายใต้ f คือ f ({2, 3}) = {c, d} และเรนจ์ของ f คือ {c, d}

บุพภาพ (preimage) (หรือ ภาพผกผัน) ของเซต B ⊂ Y ภายใต้ f คือเซตย่อยของ X ซึ่งมีนิยามคือ

f ⁻¹ (B)  = {x อยู่ใน X | f (x) ∈B}

สำหรับฟังก์ชันข้างบน บุพภาพของ {a, b} คือ f ⁻¹ ({a, b}) = {1}

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ฟังกก์ชันทั่วถึงและฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

เราสามารถแบ่งฟังก์ชันตามลักษณะความสัมพันธ์ได้ดังนี้

• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (1-1) ฟังก์ชันจะคืนค่าที่ไม่เหมือนกันหากนำเข้าค่าคนละค่ากัน กล่าวคือ ถ้า x₁ และ x₂ เป็นสมาชิกของโดเมนของ f แล้ว f (x₁) = f (x₂) ก็ต่อเมื่อ x₁ = x₂

• ฟังก์ชันทั่วถึง (แบบ onto) ฟังก์ชันจะมีเรนจ์เท่ากับโคโดเมน กล่าวคือ ถ้า y เป็นสมาชิกใดๆของโคโดเมนของ f แล้วจะมี x อย่างน้อย 1 ตัว ซึ่ง f (x) = y

• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เป็นฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และฟังก์ชันทั่วถึง มักจะใช้แสดงว่าเซต X และเซต Y มีขนาดเท่ากัน